极小正半定秩的四维多面体
组合数学
2016-07-26 v3 代数几何
最优化与控制
摘要
多面体的正半定（psd）秩是允许仿射切片线性投影到该多面体的最小psd锥的大小。d-多面体的psd秩至少为d+1，当取等号时称该多面体为psd极小的（psd-minimal）。本文我们开发了研究psd极小性的新工具，并用它们给出psd极小4-多面体的完全分类。引入的主要工具是三项式障碍（trinomial obstructions），一种用于psd极小性的新代数障碍，以及多面体的slack理想（slack ideal），它编码了直到射影等价的多面体实现空间。我们的中心结论是有31种psd极小4-多面体的组合类。我们提供了每类的组合信息和一个显式的psd极小实现。对于其中11类，其中的每个多面体都是psd极小的，这些恰好是已知的射影唯一4-多面体的组合类。我们给出了剩余类中psd极小性的完全刻画，在此过程中遇到了一些公开猜想的反例。
引用
@article{arxiv.1506.00187,
title = {Four Dimensional Polytopes of Minimum Positive Semidefinite Rank},
author = {João Gouveia and Kanstanstin Pashkovich and Richard Z. Robinson and Rekha R. Thomas},
journal= {arXiv preprint arXiv:1506.00187},
year = {2016}
}