完全正半定秩

一个 $n\times n$ 矩阵 $X$ 被称为完全正半定 (cpsd) 的，如果存在 $d\times d$ Hermitian 正半定矩阵 $\{P_i\}_{i=1}^n$（对于某个 $d\ge 1$），使得对于所有 $i,j \in \{ 1, \ldots, n \}$，有 $X_{ij}= {\rm Tr}(P_iP_j)$。一个 cpsd 矩阵的 cpsd-秩是使得这种表示成为可能的最小 $d\ge 1$。在这项工作中，我们启动了对 cpsd-秩的研究，其动机有两个方面。首先，cpsd-秩是完全正矩阵的完全正秩的一个自然的非交换类比。其次，我们表明 cpsd-秩具有物理动机，因为它可用于上下界生成量子行为所需的量子系统的大小。在这项工作中，我们展示了 cpsd-秩的几个性质。与完全正秩最多是矩阵大小的二次方不同，cpsd 矩阵的 cpsd-秩没有已知的一般上界。事实上，我们证明 cpsd-秩在大小方面可以是指数级的。具体来说，对于任意 $n\ge1$，我们构造一个大小为 $2n$ 的 cpsd 矩阵，其 cpsd-秩为 $2^{\Omega(\sqrt{n})}$。我们的构造基于 Lorentz 锥向量的 Gram 矩阵，我们证明这些矩阵是 cpsd 的。该证明关键依赖于 cpsd-秩与量子行为之间的联系。特别地，我们使用了一个已知的关于极值量子关联的矩阵表示大小的下界，并将其应用于 $n$ 维椭球面的高阶极值点。最后，我们研究了 cpsd-图，即具有如下性质的图 $G$：每个支撑集由 $G$ 给出的双重非负矩阵都是 cpsd 的。我们证明，一个图是 cpsd 的当且仅当它不包含长度至少为 $5$ 的奇圈作为子图。这与 cp-图的刻画一致。