原子锥秩的自缩放界限：应用于非负秩和完全正秩

矩阵A的非负秩是使得A可以写成r个秩一非负矩阵之和的最小整数r。由于在优化、概率和通信复杂性中的应用，非负秩最近受到了广泛关注。本文研究了一类定义在凸锥上的原子秩函数，它推广了“正”秩的若干概念，如非负秩或完全正秩（对于完全正矩阵）。本文的主要贡献是一种获得此类秩下界的新方法，该方法改进了先前已知的界限。此外，我们提出的界限可以通过半定规划计算。下界的思想基于原子范数方法，其中原子根据所关注的向量（或矩阵，在非负秩情况下）进行自缩放。这产生了一个在缩放下不变且至少与其他现有基于范数的界限一样好的下界。我们主要关注非负秩和完全正秩这两个重要情况，其中我们的界限满足有趣的性质：对于非负秩，我们证明我们的下界可以解释为分数矩形覆盖数的非组合版本，而平方和松弛与矩阵矩形图的Lovász theta数密切相关。我们还证明该下界继承了非负秩满足的许多结构性质，如对角缩放不变性、次可加性等。我们还应用我们的方法获得了完全正矩阵的完全正秩的下界。在这种情况下，我们证明我们的下界总是大于或等于普通秩下界，并且我们表明它与基于边团覆盖数的组合下界有有趣的联系。