实数与复数矩阵的稳定秩与内在维数
数值分析
2024-12-20 v2 数值分析
摘要
矩阵的“稳定秩”概念是随机矩阵算法、协方差估计、深度神经网络和推荐系统分析的核心。我们比较了实数和复数矩阵的稳定秩与内在维数与经典秩的性质。基本证明和示例表明，稳定秩不满足基本秩性质，而内在维数满足部分性质。特别是，子矩阵的稳定秩和内在维数可以超过原矩阵的值；加上厄米正半定矩阵后，内在维数的和会降低；以及通过非奇异矩阵乘积会严重改变稳定秩和内在维数。我们将稳定秩概念推广到任意Schatt en p-范数中的p稳定秩，从而统一了稳定秩和内在维数的概念：2稳定秩即为稳定秩，而厄米正半定矩阵的1稳定秩即为内在维数。我们推导了p稳定秩的p次根的和不等式和积不等式，表明其在范意义下的绝对条件良好。若矩阵和扰动均为厄米正半定，条件会得到改善。
引用
@article{arxiv.2407.21594,
title = {Stable Rank and Intrinsic Dimension of Real and Complex Matrices},
author = {Ilse C. F. Ipsen and Arvind K. Saibaba},
journal= {arXiv preprint arXiv:2407.21594},
year = {2024}
}