关于 $a^n \pm b^n$ 被 $n$ 的幂整除的问题

我们确定了所有满足以下条件的正整数三元组 $(a,b,n)$：$a$ 和 $b$ 互质，且当 $k$ 为 $a$ 和 $b$ 的最大值时，$n^k$ 整除 $a^n + b^n$（或分别为 $a^n - b^n$）（事实上，我们回答了一个稍更一般的问题）。作为副产品，我们发现对于 $m, n \in \mathbb N^+$ 且 $n \ge 2$，$n^m$ 整除 $m^n + 1$ 当且仅当 $(m,n)=(2,3)$ 或 $(1,2)$，这推广了 1990 年和 1999 年国际数学奥林匹克竞赛中的问题。这些结果与 K. Gy\H{o}ry 和 C. Smyth 提出的一个猜想有关，该猜想涉及集合 $R_k^\pm(a,b) := \{n \in \mathbb N^+: n^k \mid a^n \pm b^n\}$ 的有限性，其中 $a,b,k$ 是固定整数，$k \ge 3$，$\gcd(a,b) = 1$ 且 $|ab| \ge 2$。