孪生素数与表亲素数猜想的概率方法

我们从概率视角探讨孪生素数对与表亲素数对无穷多的问题。我们的方法将大于 $2$ 的整数集划分为形如 $[p_{n-1}^2,p_n^2)$ 的有限区间，$p_{n-1}$ 与 $p_n$ 为两个连续素数，并估计此类区间包含一对孪生素数与一对表亲素数的概率 $q_n$。结合 Mertens 第三定理与二项分布的性质，我们证明当 $n \to \infty$ 时 $q_n$ 趋于 $1$。对序列 $\{q_n\}$ 收敛性质的研究使我们提出一个关于存在无穷多孪生素数与表亲素数的新的、更严格的猜想。与 Hardy-Littlewood 猜想一致，我们也证明了孪生素数与表亲素数具有相同的渐近分布。