非齐次 Vinogradov 系统中的次凸性

当 $k$ 和 $s$ 为自然数且 $\mathbf h\in \mathbb Z^k$ 时，记 $J_{s,k}(X;\mathbf h)$ 为方程组 $$\sum_{i=1}^s(x_i^j-y_i^j)=h_j\quad (1\le j\le k),$$ 在 $1\le x_i,y_i\le X$ 下的整数解个数。当 $s<k(k+1)/2$ 且 $(h_1,\ldots ,h_{k-1})\ne {\mathbf 0}$ 时，Brandes 与 Hughes 已证明 $J_{s,k}(X;\mathbf h)=o(X^s)$。本文改进了该结果的定量方面，并且，在 Vinogradov 均值定理主猜想的一个推广成立的前提下，我们在临界情形 $s=k(k+1)/2$ 下获得了 $J_{s,k}(X;\mathbf h)$ 的渐近公式。后者需要超出平方根抵消的小弧估计。