有限域上的二次 Vinogradov 均值定理

设 $p$ 为素数，设 $s \geq 3$ 为自然数，设 $A \subseteq \mathbb{F}_p$ 为满足 $|A| \ll p^{1/2}$ 的非空集合。记 $J_s(A)$ 为方程组 $$\sum_{i=1}^{s} (x_i - x_{i+s}) = \sum_{i=1}^{s} (x_i^2 - x_{i+s}^2) = 0,$$ 的解的个数，其中 $x_1, \dots, x_{2s} \in A$，我们的主要结果蕴含 $$J_s(A) \ll |A|^{2s - 2 - 1/9}.$$ 这可视为二次 Vinogradov 均值定理的有限域类比。我们的技术涉及多种组合几何估计，包括研究笛卡尔积 $A\times A$ 与一族特殊模双曲线之间的关联。