二次 Vinogradov 均值定理的无直径估计

设 $s \geq 3$ 为自然数，设 $\psi(x)$ 为具有实系数且次数 $d \geq 2$ 的多项式，$A$ 为实数集中某个大的非空有限子集。我们用 $E_{s,2}(A)$ 表示方程组 $$\sum_{i=1}^{s} (\psi(x_i) - \psi(x_{i+s}) )= \sum_{i=1}^{s} ( x_i - x_{i+s} ) = 0,$$ 的解的个数，其中对每个 $1 \leq i \leq 2s$ 有 $x_i \in A$。我们的主要结果表明 $$E_{s,2}(A) \ll_{d,s} |A|^{2s -3 + \eta_{s}},$$ 其中 $\eta_3 = 1/2$，且当 $s \geq 4$ 时 $\eta_{s} = (1/4- 1/7246)\cdot 2^{-s + 4}$。此前唯一已知的同类结果来自 Bourgain 和 Demeter，他们证明了当 $\psi(x) = x^2$ 且 $s=3$ 时，对每个 $\epsilon > 0$ 有 $$E_{3,2}(A) \ll_{\epsilon} |A|^{3 + 1/2 + \epsilon}.$$ 因此我们的主要结果改进了上述估计，同时将其推广到更大的 $s$ 取值和更广的 $\psi(x)$ 选择。我们估计的新颖之处在于仅依赖于 $d$、$s$ 和 $|A|$，而与 $A$ 的直径无关。因此当 $A$ 为稀疏集时，我们的结果强于解耦和高效同余等方法给出的相应界。相应地，我们的策略不同于这两条研究路线，而是运用了来自关联几何、算术组合与分析数论的技术。除其他应用外，我们的估计给出了针对稀疏序列的更强离散限制估计。