微观态自由熵维数的下界估计

通过证明某些具有解析系数的自由随机微分方程存在平稳解，我们对某些 $n$ 元组 $X_{1},...,X_{n}$ 的微观态自由熵维数给出了下界估计：我们证明了 $\delta_{0}(X_{1},...,X_{n})\geq\dim_{M\bar{\otimes}M^{o}}V$，其中 $M=W^{*}(X_{1},...,X_{n})$，且 $V=\{(\partial(X_{1}),...,\partial(X_{n})):\partial\in\mathcal{C}\}$ 是导子 $\partial: A=\mathbb{C}[X_{1},... X_{n}]\to A\otimes A$ 的取值集合，这些导子满足性质 $\partial^{*}\partial(A)\subset A$。我们表明，对于足够小的 $q$（取决于 $n$）以及 $q$-半圆族 $X_{1},...,X_{n}$，有 $\delta_{0}(X_{1},...,X_{n})>1$。特别地，对于小 $q$，$q$-形变自由群因子没有 Cartan 子代数。我们分析中的一个关键工具是 Otto 和 Villani 引入的 Wasserstein 距离与 Fisher 信息之间不等式的自由类比（该不等式在自由情形下也由 Biane 和 Voiculescu 研究过）。