非微态自由熵维数的若干估计及其在 $q$-半圆形族中的应用

我们给出非微态自由熵维数 $\delta ^{*}(X_{1},..., X_{n})$ 的一般估计。若 $X_{1},..., X_{n}$ 生成一个扩散 von Neumann 代数，我们证明 $\delta ^{*}(X_{1},..., X_{n})\geq 1$。在 $X_{1},..., X_{n}$ 为 Bozejko 与 Speicher 引入的 $q$-半圆形变量且 $q^{2}n<1$ 的情形下，我们证明 $\delta ^{*}(X_{1},..., X_{n})>1$。我们还证明对 $|q|<\sqrt{2}-1$，由有限族 $q$-Gaussian 随机变量生成的 von Neumann 代数满足 Ozawa 的一个条件，因此是固态的：任意扩散子代数的相对交换子必为超有限的。特别地，当这些代数为因子时，它们是素的且不具性质 $\Gamma$。