多项式平值数的平均个数

著名结果表明，平方无因数计数函数至 $N$ 为 $N/\zeta(2)+O(N^{1/2})$，这对应于恒等多项式 $\text{Id}(x)$。对于任意给定的 $\varepsilon>0$，期望误差项为 $O_\varepsilon(N^{\frac{1}{4}+\varepsilon})$。通常情况下，对于用 $\text{Id}(x)$ 替代的更高次多项式 $f(x)$，很难获得类似的误差阶。我们在黎曼假设下展示了在任意次数的多项式上的平均意义上的误差项达到了预期的 $O_\varepsilon(N^{\frac{1}{4}+\varepsilon})$ 阶。