随机狄利克雷多项式根的期望数量

设 $T>0$，考虑随机狄利克雷多项式 $S_T(t)=Re\, \sum_{n\leq T} X_n n^{-1/2-it}$，其中 $(X_n)_{n}$ 是独立同分布的高斯随机变量，均值为 $0$，方差为 $1$。我们证明了 $S_T(t)$ 在二进区间 $[T,2T]$ 内根的期望数量，记为 $\mathbb{E} N(T)$，约为黎曼 $\zeta$ 函数在临界带内高度不超过 $T$ 的零点数量的 $2/\sqrt{3}$ 倍。此外，我们还计算了 $S_T(t)$ 的 $k$ 阶导数在同一二进区间内零点的期望数量。我们的证明需要用到目前已知的黎曼 $\zeta$ 函数的最佳上界，以及某些狄利克雷多项式的 $L^2$ 平均估计。