$k$-自由数的分布

令 $R_k(x)$ 表示用 $x/\zeta(k)$ 逼近小于 $x$ 的 $k$-自由整数个数时所产生的误差。众所周知 $R_k(x)=\Omega(x^{\frac{1}{2k}})$，且被广泛猜想有 $R_k(x)=O(x^{\frac{1}{2k}+\epsilon})$。通过建立黎曼 zeta 函数某些零点子集的弱线性无关性，我们给出了该下界的有效证明，且与先前工作相比常数上的界显著更大。例如，我们证明对 $k=2$、$3$、$4$ 和 $5$，有 $R_k(x)/x^{1/2k} > 3$ 无穷多次，且 $R_k(x)/x^{1/2k} < -3$ 无穷多次。我们还详细研究了 $R_2(x)$ 和 $R_3(x)$，并确立我们的界远超这些函数在很长区间内的振荡：对 $0<x\leq10^{18}$，我们证明 $|R_2(x)| < 1.12543x^{1/4}$ 且 $|R_3(x)| < 1.27417x^{1/6}$。我们还给出了关于无平方因子数之间以及无立方因子数之间间隙的一些经验结果。