嵌套高效同余法与维诺格拉多夫中值定理的相关推广

我们应用多级高效同余法的一个嵌套变体来估计与维诺格拉多夫中值相关的均值。我们证明，当 $\varphi_j\in \mathbb Z[t]$ $(1\le j\le k)$ 是一个具有非零 Wronskian 行列式的多项式系统，且 $s\le k(k+1)/2$ 时，对于所有复序列 $(\mathfrak a_n)$ 以及每个 $\epsilon>0$，有 $$\int_{[0,1)^k} \left| \sum_{|n|\le X} {\mathfrak a}_n e(\alpha_1\varphi_1(n)+\ldots +\alpha_k\varphi_k(n)) \right|^{2s} {\rm d}{\boldsymbol \alpha} \ll X^\epsilon \left( \sum_{|n|\le X} |{\mathfrak a}_n|^2\right)^s.$$ 作为该结果的一个特例，我们证实了维诺格拉多夫中值定理对所有指数 $k$ 的主要猜想，重新得到了作者（对 $k=3$）以及 Bourgain、Demeter 和 Guth（对 $k\ge 4$）的近期结论。与后几位作者使用的 $l^2$-解耦方法相比，我们没有使用多线性 Kakeya 估计，因此我们的方法具有足够的灵活性，可应用于代数数域和函数域。我们概述了这些推广。