关于 Erdős 和 Graham 关于 Sylvester 序列的一个猜想

设 $\{u_n\}_{n=1}^{\infty}$ 为 Sylvester 序列（OEIS 中的数列 A000058），设 $a_1 < a_2 < \cdots$ 为任意满足 $\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{a_i} = 1$ 的正整数序列。本文解决了 Erdős 和 Graham 的一个猜想，该猜想问：$$\liminf_{n\to\infty} a_n^{\frac{1}{2^n}} < \lim_{n\to\infty} u_n^{\frac{1}{2^n}} = c_0 = 1.264085\ldots$$ 是否成立。我们使用构造性方法证明了该猜想。此外，假设 Erdős 和 Graham 的未经证明的论断——"所有有理数最终都有贪心最佳埃及下逼近"——成立，我们使用非构造性方法建立了该猜想的推广。[本文解决了 Bloom 网站"Erdős 问题"中的问题 315。]