关于埃尔多斯-伯韦恩常数的二进制位数

在关于 Lambert 级数算术性质的划朗论文中，埃尔多斯证明了 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n} - 1}$ 是无理数。该值 E 现被称为埃尔多斯-伯韦恩常数。Crandall 于 2012 年研究了该常数的二进制展开的性质，并留下了一个以下的开放问题：字符串 $11$ 在 E 的二进制展开中是否出现无限次？这一开放问题随后被 Shallit 也予以指出。我们成功地引入了一套完整的证明，肯定地解决了 Crandall 的问题。我们的证明结合了以埃尔多斯 spirit 进行的同余构造，以及 Alford、Granville 和 Pomerance 对素数在算术序列中计数函数的估计。我们的论证是在与 GPT-5.5 Pro 进行大量交互后所发展而成。