关于Erdős与Graham的一个丢番图方程

我们研究丢番图方程 \begin{equation*} \frac{n}{2^{n}}=\sum_{i=1}^{k}\frac{a_{i}}{2^{a_{i}}}, \end{equation*} 在满足条件 $k\geq 2$ 且对 $i=1,\ldots,k-1$ 有 $a_{i}<a_{i+1}$ 的整数 $n, k, a_{1},\ldots, a_{k}$ 中的可解性。上述（多项式-指数型）丢番图方程在 Erd\H{o}s 与 Graham 的专著中被提及，其中提出了若干问题。其中部分问题已由 Borwein 与 Loring 解答。我们拓展了他们的工作并研究了 Erd\H{o}s 与 Graham 方程的其他方面。首先，我们得到了仅以 $k$ 表示的 $a_{k}$ 的上界。这意味着，在固定 $k$ 时我们的方程在 $n, a_{1},\ldots, a_{k}$ 中仅有有限多个解。此外，我们构造了一个无限集 $\cal{K}$，使得对每个 $k\in\cal{K}$，所考虑的方程至少有五个解。作为我们发现的应用，我们枚举了 $k\leq 8$ 时方程的所有解。进而，通过应用贪心算法，我们拓展了 Borwein 与 Loring 的计算，并验证了对每个 $n\leq 10^4$，存在一个 $k$ 值使得所考虑的方程在整数 $n+1=a_{1}<a_{2}<\ldots <a_{k}$ 中有解。基于我们的数值计算，我们提出了一些进一步的问题与猜想。