方程 $(2^{k}-1)(b^{k}-1)=y^{q}$ 的二次方程

本文考察指数二次方程$(2^k-1)(b^k-1)=y^q$，其中$k\ge 2$，奇整数$b$和奇素数指数$q$，并给出$q$相对于$b$的有效上界。特别地，我们证明除了在$3\le b<10^6$的范围内除外，总会有一个明确确定的例外$(b,q)$集合，满足$q\le \log_2(b+1)$。作为应用，我们证明相关方程$(2^k-1)(b^k-1)=x^n$对于$b\in\{5,7,11,13,21,23,27,29\}$等几个特定奇数$b$值没有正整数解$(k,x,n)$。