与Kempner级数相关的一个有趣结果

自A. J. Kempner的工作以来，众所周知，十进制表示中不包含任何数字9的正整数的倒数级数是收敛的。这一结果由F. Irwin等人推广，用于处理十进制表示中仅包含给定非空数字集中每个数字有限数量的正整数的倒数级数。实际上，已知所有这些级数都是收敛的。这里，令$S^{(r)}$ $(r \in \mathbb{N})$表示十进制表示中恰好包含数字9 $r$次的正整数的倒数级数，得到的一个令人印象深刻的结果是，当$r$趋于无穷时，$S^{(r)}$趋于$10 \log{10}$！