求和 Kempner 和 Irwin 的奇特级数

1914 年，Kempner 证明了级数 1/1 + 1/2 + ... + 1/8 + 1/10 + 1/11 + ... + 1/18 + 1/20 + 1/21 + ...（其中分母为不包含数字 9 的正整数）收敛于一个小于 90 的和。实际和约为 22.92068。1916 年，Irwin 除其他结果外证明了当 $n$ 至多包含有限个 9 时，1/$n$ 的和也是一个收敛级数。我们展示了如何高精度计算 Irwin 级数的和。例如，级数 1/9 + 1/19 + 1/29 + 1/39 + 1/49 + ...（其中分母恰好包含一个 9）的和约为 23.04428 70807 47848 31968。另一个例子：当 $n$ 恰好包含 100 个零时，1/$n$ 的和约为 10 ln(10) + 1.00745 x 10^-197 ~ 23.02585；注意该级数的第一项也是最大项是微小的 1/googol。最后，我们讨论了一类相关级数，其求和算法尚未被开发。