无重叠词与矩阵谱

无重叠词是指定义在二元字母表 $A=\{a, b\}$ 上且不包含形式为 $xvxvx$ 的因子的词，其中 $x \in A$ 且 $v \in A^*$。我们分析了长度 $n$ 的无重叠词数量 $u_n$ 在 $n \to \infty$ 时的渐近增长。我们利用某些 $20 \times 20$ 维矩阵集的谱特征（下谱半径和联合谱半径），获得了 $u_n$ 最小和最大增长率的显式公式。利用这些描述，我们提供了新的增长率估计值，其与精确值的偏差分别在 0.4% 和 0.03% 以内；而此前已知的最佳界限偏差分别为 11% 和 3%。随后，我们证明了对于“几乎所有”自然数 $n$，$u_n$ 的值实际上具有相同的增长率。这种“平均”增长率不同于最大和最小增长率，也可以用谱量（Lyapunov 指数）来表示。我们利用该表达式对其进行估计。为了获得这些估计值，我们引入了计算矩阵集谱特征的新算法。这些算法可用于其他场景并具有独立的研究价值。