左无限词与右无限词之间的重叠间隙

给定两个等长有限词 $u$ 和 $v$，定义 \emph{$u$ 与 $v$ 之间的重叠间隙}（记为 $og(u,v)$）为最小整数 $m$，使得存在长度为 $m$ 的词 $x$ 和 $x'$ 满足 $xu=vx'$ 或 $ux=x'v$。非正式地，重叠间隙度量了给定词最大重叠的外部部分。对于左无限词 $\lambda$ 与右无限词 $\rho$，令 $og_{\lambda,\rho}$ 为对每个非负整数 $n$ 由 $og_{\lambda,\rho}(n)=og(\lambda_n,\rho_n)$ 定义的函数，其中 $\lambda_n$ 与 $\rho_n$ 分别为 $\lambda$ 的长度为 $n$ 的后缀与 $\rho$ 的长度为 $n$ 的前缀。并记 $OG_{\lambda,\rho}$ 为函数 $og_{\lambda,\rho}$ 的像。本文中，我们证明 $OG_{\lambda,\rho}$ 为有限集当且仅当 $\lambda$ 与 $\rho$ 是最终周期无限词，形如 $\lambda=u^{-\infty}w_1=\cdots uuuw_1$ 与 $\rho=w_2u^\infty=w_2uuu\cdots$（其中 $u$、$w_1$、$w_2$ 为有限词）。