几乎对易的词

两个等长词 $u$、$v$ 之间的\emph{汉明距离} $\text{ham}(u,v)$ 是 $u$ 和 $v$ 不同的位置数。若存非空词 $x,y$ 使得 $u=xy$ 且 $v=yx$，则称词 $u$ 和 $v$ 为\emph{共轭}的。$\text{ham}(xy,yx)$ 可取的最小值为 $0$，此时 $x$ 和 $y$ 对易。但有趣的是，$\text{ham}(xy,yx)$ 可取的次小值为 $2$ 而非 $1$。本文考虑满足 $\text{ham}(xy,yx)=2$ 的共轭词 $u=xy$ 和 $v=yx$。更具体地，我们给出一个高效公式来计数在 $k$ 字母字母表上长度为 $n$ 且具有共轭词 $v=yx$ 满足 $\text{ham}(xy,yx)=2$ 的词 $u=xy$ 的个数 $h(n)$。我们还给出了与 $h(n)$ 密切相关的其他量的高效公式。最后，我们表明不存在一个易于表达的对 $h(n)$ 增长的良好界。