Gap Hamming Distance 通信复杂性的若干界限

本文研究了 Gap Hamming Distance 问题 ($\mathsf{GHD}^n_{L, U}$) 通信复杂性的若干界限：Alice 和 Bob 给定长度为 $n$ 的二进制串，并保证其输入之间的汉明距离对于某个 $L < U$ 要么 $\le L$ 要么 $\ge U$。若第一个不等式成立则输出 0，若第二个不等式成立则输出 1。本文研究具有单边错误的随机协议和确定性协议下 $\mathsf{GHD}^n_{L, U}$ 的通信复杂性。第一个结果是一个协议，通信 $O\left(\left(\frac{s}{U}\right)^\frac{1}{3} \cdot n\log n\right)$ 比特，且单边错误概率为 $e^{-s}$，条件为 $s \ge \frac{(L + \frac{10}{n})^3}{U^2}$。第二个结果关于 $\mathsf{GHD}^n_{0,\, t}$ 的确定性通信复杂性。令人惊讶的是，它可以用对数精度计算：$$\mathrm{D}(\mathsf{GHD}^n_{0,\, t}) = n - \log_2 V_2\left(n, \left\lfloor\frac{t}{2}\right\rfloor\right) + O(\log n),$$ 其中 $V_2(n, r)$ 表示半径为 $r$ 的汉明球的大小。作为该结果的应用，对任意 $c < 2$，我们证明了计算长度 $n$、令牌来自全域 $U = \{1, 2, \ldots, n\}$ 的数据流中不同元素个数的任意 $c$-近似确定性 $p$-遍流算法空间复杂度的下界 $\Omega\left(\frac{n(2 - c)^2}{p}\right)$。之前该下界已知对于 $c < \frac{3}{2}$ 以及对于 $c < 2$ 但具有更大 $|U|$ 的情况。