流式环境与双方通信中半匹配的近似

我们研究了近似无权半匹配的通信复杂度和流式复杂度。二分图 G = (A, B, E) 中的半匹配（其中 n = |A|）是边集 S 的子集，它将所有 A 顶点匹配到 B 顶点，目标通常是尽可能公平地实现这一点。虽然“半匹配”一词由 Harvey 等人于 2003 年 [WADS 2003] 提出，但该问题此前已在调度文献中以不同名称被研究过。我们提出了一种确定性单遍流式算法，对于任意 0 <= \epsilon <= 1，该算法使用 O(n^{1+\epsilon}) 空间并计算半匹配问题的 O(n^{(1-\epsilon)/2})-近似解。此外，通过 O(log n) 遍扫描，可以用 O(n) 空间计算 O(log n)-近似解。在单向双方通信设置中，我们表明对于每个 \epsilon > 0，计算 O(n^{1/((1+\epsilon)c + 1)})-近似解的确定性通信协议需要大小超过 cn 比特的消息。我们提出了两种确定性协议，分别通信 n 和 2n 条边，计算 O(sqrt(n)) 和 O(n^{1/3}) 近似解。最后，我们改进了 Harvey 等人 [Journal of Algorithms 2006] 的结果，并证明了半匹配与匹配之间的新联系。虽然已知最优半匹配包含一个最大匹配，但我们证明了最优半匹配可以分层分解为多个最大匹配。类似的结果也适用于不允许长度为二的度最小化路径的半匹配。