分布式 Deutsch-Jozsa 承诺问题的推广

在分布式 Deutsch-Jozsa 承诺问题中，两方需确定它们各自的字符串 $x,y\in\{0,1\}^n$ 的汉明距离是 $H(x,y)=0$ 还是 $H(x,y)=\frac{n}{2}$。Buhrman 等人 (STOC' 98) 证明了该问题的精确量子通信复杂度为 ${\bf O}(\log {n})$，而确定性通信复杂度为 ${\bf \Omega}(n)$。这是量子与经典通信复杂度之间首个令人印象深刻的（指数级）差距。在本文中，我们将上述分布式 Deutsch-Jozsa 承诺问题推广为：对于任意固定的 $\frac{n}{2}\leq k\leq n$，判断 $H(x,y)=0$ 还是 $H(x,y)= k$；并证明如果 $k$ 是偶数且满足 $\frac{1}{2}n\leq k<(1-\lambda) n$（其中给定 $0< \lambda<\frac{1}{2}$），精确量子通信复杂度与确定性通信复杂度之间仍存在指数级差距。我们还处理了著名的不相交性问题的一个承诺版本，并表明对于该承诺问题，在量子（及概率）通信复杂度与该不相交性问题承诺版本的确定性通信复杂度之间也存在指数级差距。最后，展示了所得结果在量子、概率及确定性有限自动机中的一些应用。