常数成本通信不可归约到k-Hamming距离

每一个已知随机化通信成本为常数(独立于输入大小)的通信问题都可以归约到k-Hamming距离，即通过对某k-Hamming距离oracle进行常数次数的确定性查询来解决。我们展示了第一个常数成本问题的例子，这些问题无法归约到k-Hamming距离。为证明这一分离，我们将其关联到一个自然的编码论问题。对于函数 $f : \{2, 4, 6\} \to \mathbb{N}$，我们称编码函数 $E : \{0, 1\}^n \to \{0, 1\}^m$ 为f-code，如果在 $f$ 定义时，满足 $\mathrm{dist}(E(x), E(y)) = f(\mathrm{dist}(x, y))$。我们证明，如果存在无限多个 $n$ 的f-code，则 $f$ 必须是仿射函数：$f(4) = (f(2) + f(6))/2$。