承诺问题的通信复杂度及其在有限自动机中的应用

相等性问题与不相交性问题是通信复杂度中研究最为广泛的两个问题。它们已在经典和量子通信以及各种通信模型和模式下得到研究。Buhrman 等人 [Buh98] 证明了相等性问题承诺版本的精确量子通信复杂度为 ${\bf O}(\log {n})$，而双向通信的经典确定性通信复杂度为 $n+1$，这是量子与经典（确定性和概率性）通信复杂度之间首个令人印象深刻的巨大（指数级）差距。若允许误差，相等性问题的量子与概率通信复杂度均为 ${\bf O}(\log {n})$。然而，即使允许误差，对于不相交性问题，量子（概率）与确定性复杂度之间的差距也不超过二次方。因此，一个有趣的问题是：是否存在不相交性问题的某些承诺版本，能够展示更大的差距？我们对此给出了肯定回答。具体而言，我们证明了对于不相交性问题的某些特定版本，量子（甚至是概率）通信复杂度与经典确定性通信复杂度之间存在指数级差距。Klauck [Kla00] 证明，对于任何语言，精确量子/经典有限自动机（作为单向量子有限自动机的一般模型）的状态复杂度不低于等价单向确定性有限自动机 (1DFA) 的状态复杂度。在本文中，我们利用通信复杂度结果表明，对于某些承诺问题，情况可能有所不同。具体而言，我们展示了对于某些承诺问题，精确单向量子有限自动机与 1DFA 之间的状态复杂度差距可达指数级。