对称赋范空间中内积的通信复杂度

我们引入并研究了计算两个向量内积的通信复杂度，其中输入相对于空间 $\mathbb{R}^n$ 上的范数 $N$ 受限。此处，Alice 和 Bob 分别持有向量 $v,u$，满足 $\|v\|_N\le 1$ 且 $\|u\|_{N^*}\le 1$，其中 $N^*$ 为对偶范数。他们希望计算其内积 $\langle v,u \rangle$ 至 $\varepsilon$ 加性误差以内。该问题记为 $\mathrm{IP}_N$。我们系统地研究 $\mathrm{IP}_N$，给出如下结果：- 对任意对称范数 $N$，给定 $\|v\|_N\le 1$ 与 $\|u\|_{N^*}\le 1$，存在使用 $\tilde{\mathcal{O}}(\varepsilon^{-6} \log n)$ 比特的随机协议计算 $\mathrm{IP}_N$——我们将其记为 $\mathcal{R}_{\varepsilon,1/3}(\mathrm{IP}_{N}) \leq \tilde{\mathcal{O}}(\varepsilon^{-6} \log n)$。- 单向通信复杂度 $\overrightarrow{\mathcal{R}}(\mathrm{IP}_{\ell_p})\leq\mathcal{O}(\varepsilon^{-\max(2,p)}\cdot \log\frac n\varepsilon)$，以及在 $\varepsilon^{-\max(2,p)} \ll n$ 时近乎匹配的下界 $\overrightarrow{\mathcal{R}}(\mathrm{IP}_{\ell_p}) \geq \Omega(\varepsilon^{-\max(2,p)})$。- 对称范数 $N$ 的单向通信复杂度 $\overrightarrow{\mathcal{R}}(N)$ 由 $\ell_\infty^k$ 到 $N$ 的嵌入所主导。具体而言，虽然小失真嵌入易推出下界 $\Omega(k)$，我们证明反之，此类嵌入的不存在性意味着通信量为 $k^{\mathcal{O}(\log \log k)} \log^2 n$ 的协议。- 对任意原点对称的凸多胞体 $P$，我们证明 $\mathcal{R}(\mathrm{IP}_{N}) \le\mathcal{O}(\varepsilon^{-2} \log \mathrm{xc}(P))$，其中 $N$ 是使 $P$ 为单位球的唯一范数，$\mathrm{xc}(P)$ 为 $P$ 的扩展复杂度。