关于（双色）最大内积的近似与精确计算之困难性

本文研究（双色）最大内积问题（Max-IP），其中给定向量集合 $A$ 和 $B$，目标是找到 $a \in A$ 和 $b \in B$ 使内积 $a \cdot b$ 最大化。Max-IP 非常基础，并作为 [Abboud et al., FOCS 2017] 关于多项式时间问题近似困难性突破的基问题。它也被（隐式地）用于 [Williams, SODA 2018] 中关于在 poly-log-log 维数下精确 $\ell_2$-最远对（以及计算几何中其他重要问题）困难性的论证。我们有关于此问题的三个主要结果。首先，我们研究亚二次时间内布尔 Max-IP 的最佳乘法近似比。我们证明，对于来自 $\{0,1\}^{d}$ 的两组 $n$ 个向量的 Max-IP，存在一个 $n^{2 - \Omega(1)}$ 时间的 $\left( d/\log n \right)^{\Omega(1)}$-乘法近似算法，并证明这在条件意义下是最优的，因为这样的 $\left(d/\log n\right)^{o(1)}$-近似算法将反驳 SETH。其次，我们对布尔 Max-IP 的最佳加性近似误差实现了类似刻画。我们证明，对于来自 $\{0,1\}^{d}$ 的两组 $n$ 个向量的 Max-IP，存在一个 $n^{2 - \Omega(1)}$ 时间的 $\Omega(d)$-加性近似算法，且这在条件意义下是最优的，因为这样的 $o(d)$-近似算法将反驳 SETH [Rubinstein, STOC 2018]。最后，我们重访具有整数项向量的 Max-IP 精确求解的困难性。我们证明，在 SETH 下，对于来自 $\mathbb{Z}^{d}$（其中某 $d = 2^{O(\log^{*} n)}$）的 $n$ 个向量集合的 Max-IP，每个精确算法都需要 $n^{2 - o(1)}$ 时间。结合 [Williams, SODA 2018] 的归约，可知在 $2^{O(\log^{*} n)}$ 维下的 $\ell_2$-最远对与双色 $\ell_2$-最近对需要 $n^{2 - o(1)}$ 时间。