具有多对数顶点的多边形最大权重独立集的拟多项式时间近似方案

多边形最大权重独立集问题是计算几何中的一个基本问题。给定二维平面上的一组带权重多边形，目标是找到一组两两不重叠的多边形，使其总权重最大。由于其广泛的应用范围，MWISP 问题及其特例在近似算法和计算几何界得到了广泛研究。尽管已有大量研究，但其一般情形仍未被充分理解。目前最好的多项式时间算法实现了 $n^\epsilon$ 的近似比 [Fox and Pach, SODA 2011]，甚至尚不清楚该问题是否是 APX-hard 的。我们提出了一种 $(1+\epsilon)$-近似算法，假设输入中的每个多边形至多具有多对数数量的顶点。我们的算法具有拟多项式运行时间。我们利用了一个最近引入的框架，用于近似几何相交图中的最大权重独立集。该框架已被用于构建轴平行矩形这一更简单情形下的 QPTAS。我们将该框架从两个方面进行了扩展，以适应我们更为一般的设定。首先，我们证明了其技术核心可以归约到所有输入多边形均为三角形的情形。其次，我们替换了其关键技术成分，即一种仅使用少量边来划分平面的方法，使得源自最优解的对象均匀分布在生成的面中，且每个对象仅被相交少数几次。我们针对此任务的新过程复杂度不高于原始过程，并且能够处理由多边形任意角度引起的困难。值得注意的是，仅这一障碍就使得上述框架的已知分析失效。此外，一般而言，如何通过高效近似算法处理这一困难尚未被充分理解。