最大权重独立集问题的一个变体

我们研究了最大权重独立集问题 (MWIS) 的一个自然扩展，MWIS 是图算法中研究最广泛的优化问题之一。给定图 $G=(V,E)$、权重函数 $w: V \rightarrow \mathbb{R^+}$、预算函数 $b: V \rightarrow \mathbb{Z^+}$ 以及正整数 $B$。顶点子集的权重（ resp. 预算）是该子集中各顶点权重（ resp. 预算）之和。$G$ 中的 $k$-预算独立集是指一个顶点子集，其中任意两个顶点均不相邻，且该子集的预算至多为 $k$。目标是在 $G$ 中找到一个 $B$-预算独立集，使其权重在所有 $B$-预算独立集中最大。我们将此问题称为 MWBIS。作为 MWIS 的推广，MWBIS 在调度、无线网络等领域也有多种应用。鉴于 MWIS 隐含的硬度结果，我们在几类特殊图中研究 MWBIS 问题。我们为树、森林、环图和区间图设计了精确算法。在无权情况下，我们为 $d+1$-爪自由图设计了一种近似算法，其近似比 ($d$) 与 MWIS（无权）的近似比 ($\frac{d}{2}$) 具有竞争力。此外，我们扩展了 Baker 技巧 \cite{Baker83}，以获得平面图中 MWBIS 的 PTAS。