细粒度近似硬度中的更细粒度归约

我们研究了在各种距离度量下的最近点对问题以及细粒度复杂性中其他相关问题上,为获得时间 $N^{2-\epsilon}$ 内的 $(1+\delta)$ 近似所需的 $\delta$ 与 $\epsilon$ 之间的关系。具体而言,我们的主要结果表明:若不可能在 $N^{2-\epsilon}$ 时间内(精确)求解维度为 $c \log N$ 的向量(双色)内积(IP)问题,则不存在运行于 $N^{2-2\epsilon}$ 时间的(双色)欧几里得最近点对 $(1+\delta)$ 近似算法,其中 $\delta \approx (\epsilon/c)^2$($\approx$ 隐藏 $\polylog$ 因子)。这改进了 Chen 和 Williams (SODA 2019) 先前的结论,其给出的 $\delta$ 对 $\epsilon$ 的多项式依赖更弱,为 $\delta \approx (\epsilon/c)^6$。我们的结果进而意味着,除非 IP 取得算法改进,否则不存在 $\delta \approx \epsilon^4$ 的欧几里得最近点对 $(1+\delta)$ 近似算法。这又非常接近 Almam、Chan 和 Williams (FOCS 2016) 最佳已知算法给出的 $\delta \approx \epsilon^3$ 近似保证。通过已知归约,类似结果对细粒度近似硬度中大量其他相关问题也成立。我们的归约结合了 Chen 和 Williams 的近似硬度框架,以及受 Chen (Theory of Computing, 2020) 的 MA 协议启发的、基于小字母表的 IP 的 MA 通信协议。