非定域盒代数与通信复杂度的坍缩

通信复杂度量化了两个远程计算机在尽可能少交换比特的约束下，评估函数 $f(X,Y)$ 的难度，其中字符串 $X$ 和 $Y$ 分别分发给第一台和第二台计算机。令人惊讶的是，某些非定域盒（即两台计算机共享的资源）功能如此强大，以至于它们能使通信复杂度坍缩，意味着任何布尔函数 $f$ 都可以通过仅交换一个比特的通信被正确估计。Popescu-Rohrlich (PR) 盒就是此类坍缩资源的一个例子，但对坍缩非定域盒集合的全面描述仍然难以捉摸。在这项工作中，我们对连接非定域盒的布线结构进行了代数研究，从而定义了“盒的乘积”$P\boxtimes Q$ 的概念，并展示了相关的结合律和交换律结果。这引出了“盒的轨道”概念，揭示了蒸馏盒在排列和平行性方面令人惊讶的几何性质。这一新框架的强大之处在于，它使我们能够证明先前报道的关于连接连续盒的最佳方式的数值观察，并在数值上和解析上恢复了最近识别出的、针对不同噪声模型能使通信复杂度坍缩的含噪 PR 盒。