闭词与特权词数量的上界

若非空词 $w$ 满足 $\vert w\vert<\vert u\vert$ 且 $w$ 同时是 $u$ 的前缀与后缀，则称 $w$ 为词 $u$ 的边界。带有边界 $w$ 的词 $u$ 若恰好出现两次 $w$，则称其为闭词。若 $\vert u\vert\leq 1$，或 $u$ 含有一个在 $u$ 中恰好出现两次的特权边界 $w$，则称词 $u$ 为特权词。Peltom\"aki (2016) 提出了如下开放问题：“给出 $B(n)$ 的一个非平凡上界”，其中 $B(n)$ 表示长度为 $n$ 的特权词的数量。设 $D(n)$ 表示长度为 $n$ 的闭词的数量。令 $q>1$ 为字母表的大小。我们证明存在正常数 $c$ 使得 $$D(n)\leq c\ln{n}\frac{q^{n}}{\sqrt{n}}\mbox{，其中 }n>1\mbox{。}$$ 特权词是闭词的子集，因此我们也给出了特权词数量的上界。