特权词个数的上界

若非空词 $w$ 满足 $\vert w\vert<\vert u\vert$ 且 $w$ 既是 $u$ 的前缀又是其后缀，则称 $w$ 为词 $u$ 的\emph{边界}。若 $\vert u\vert\leq 1$，或 $u$ 具有一个恰好在 $u$ 中出现两次的特权边界 $w$，则称词 $u$ 为\emph{特权词}。Peltom\"aki（2016）提出了如下开放问题：“给出 $B(n)$ 的一个非平凡上界”，其中 $B(n)$ 表示长度为 $n$ 的特权词个数。令 $\ln^{[0]}{(n)}=n$，并令 $\ln^{[j]}{(n)}=\ln{(\ln^{[j-1]}{(n)})}$，其中 $j,n$ 为正整数。我们证明：若 $q>1$ 为字母表大小且 $j\geq 3$ 为整数，则存在常数 $\alpha_j$ 与 $n_j$，使得 $$B(n)\leq \alpha_j\frac{q^{n}\sqrt{\ln{n}}}{\sqrt{n}}\ln^{[j]}{(n)}\prod_{i=2}^{j-1}\sqrt{\ln^{[i]}(n)}\mbox{, where }n\geq n_j\mbox{.}$$ 该结果改进了 Rukavicka（2020）的上界。