关于有限字中 $k$-幂最大个数的注记

一个\emph{幂}是指形如 $\underbrace{uu...u}_{k \; \text{times}}$ 的字，其中 $u$ 是一个字且 $k$ 为正整数；该幂也称为{\em $k$-幂}，而 $k$ 为其{\em 指数}。我们证明对任意 $k \ge 2$，长度为 $n$ 的字中不同非空 $k$-幂因子的最大个数介于 $\frac{n}{k-1}-\Theta(\sqrt{n})$ 与 $\frac{n-1}{k-1}$ 之间。我们还证明长度为 $n$ 的字中指数至少为 2 的不同非空幂因子的最大个数至多为 $n-1$。两个上界均推广了 Brlek 与 Li（2022）近期关于长度为 $n$ 的字中不同平方因子最大个数为 $n-1$ 的上界。