矩阵族随机谱半径的概率分析

我们研究由矩阵族 $\mathcal F$ 及其生成的半群中乘积相关联的联合谱特征。在文献中，诸如众所周知的联合谱半径和下谱半径等极端测度已被广泛研究。然而，这些测度未能捕捉矩阵乘积的典型增长率，仅聚焦于最坏情况和最佳情况情形。 Nevertheless, 当考察切换动力系统时，一种描述典型轨迹增长率的概率性增长率便成为一个极具吸引力和重要性的测度。在本文中，我们研究随机谱半径——即根据给定概率测度从半群中随机抽取长度为 $n$ 的乘积的谱半径。我们为对角(等价于可交换)、上或下三角，以及小扰动的对角矩阵建立渐近结果，即大数定律和中心极限定理。除恢复正确的尺度外，我们获得了限制值为闭式表达式，这在需要精确常数的数值应用中可能有所帮助。在协同区(即主特征值合并)中，限制分布为非高斯分布：由具有显式协方差结构的相关高斯向量的最大值给出。这一现象支配着切换系统中不同增长情形之间的相变。