离散时间线性切换控制系统的极小极大联合谱半径与可稳定性

为估计具有来自某矩阵集 $\mathcal{A}$ 的因子的矩阵乘积 $A_{n}\cdots A_{1}$ 的增长率，传统上使用联合谱半径 $\rho(\mathcal{A})$ 与下谱半径 $\check{\rho}(\mathcal{A})$ 这类数值量。其中第一个量刻画了相应乘积范数的最大增长率，而第二个量刻画了最小增长率。在离散时间线性切换系统理论中，不等式 $\rho(\mathcal{A})<1$ 作为系统稳定的判据，而不等式 $\check{\rho}(\mathcal{A})<1$ 作为可稳定性的判据。对于具有因子 $A_{i}\in\mathcal{A}$ 和 $B_{i}\in\mathcal{B}$ 的矩阵乘积 $A_{n}B_{n}\cdots A_{1}B_{1}$（其中 $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$ 为某些矩阵集），我们引入量 $\mu(\mathcal{A},\mathcal{B})$ 和 $\eta(\mathcal{A},\mathcal{B})$，分别称为对 $\{\mathcal{A},\mathcal{B}\}$ 的下极小极大联合谱半径与上极小极大联合谱半径，它们刻画了在所有矩阵集 $A_{i}\in\mathcal{A}$ 下矩阵乘积 $A_{n}B_{n}\cdots A_{1}B_{1}$ 的最大增长率，以及在所有矩阵集 $B_{i}\in\mathcal{B}$ 下的最小增长率。在此意义上，极小极大联合谱半径可视为联合谱半径与下谱半径两者的推广。作为极小极大联合谱半径的应用，我们展示了如何利用这些量来分析存在未受控外部扰动的离散时间线性切换控制系统的可稳定性。