平面分段多项式向量场越限极限环数的增长估计

为响应经典 Hilbert 的第十六问题，我们将多项式情境下的若干关键进展推广至分段多项式情境。具体而言，我们研究平面分段多项式向量场的度为 $n$ 时，越限极限环数的最大值 $H_c(n)$ 的增长。目前已知的最佳一般下界为 $H_c(n)\geq 2n - 1$。本文我们证明 $H_c(n)$ 的增长至少为 $n^2/4$。进一步地，我们证明 $H_c(n)$ 在有限时为严格递增，且在此类情况下，该最大值可由所有越限极限环均为超鞭的分段多项式系统实现。最后，针对更受限制的分段多项式哈密顿向量场类， 我们借鉴 Christopher 和 Lloyd 的递归构造，证明相应的最大越限极限环数 $\widehat{H}_c(n)$ 的增长至少为 $n\log n/(2\log 2)$，从而改进了之前的线性增长估计。