3D 多项式向量场中正常双曲极限环的数量的严格递增

Hilbert 第十六问题的第二个部分关心的是确定平面次数为 $m$ 的多项式向量场可呈现的极限环的最大数量 $H(m)$。对三维空间的自然扩展是研究次数为 $m$ 的空间多项式向量场可出现的极限环的最大数量 $N(m)$。本文我们关注正常双曲极限环，证明了相应的最大数量 $N_h(m)$ 若有限，则随 $m$ 严格递增。更准确地说，我们证明了 $N_h(m+1) \geqslant N_h(m) + 1$。我们的证明依赖于空间向量场接近 Hopf-Zero 不稳定点处观察到的环分叉现象。虽然此类分叉的条件通常以更高阶正常形系数的形式表达，但我们仅假设未扰动向量场的线性部分处于 Jordan 标准形的情况下，推导出明确且可验证的分叉准则。这种方法规避了涉及更高阶正常形的复杂计算。