凸多联骨牌的个数与 Jacobi 多项式的母函数

Lin 与 Chang 给出了以 $m+1$ 乘 $n+1$ 最小边界矩形为界的凸多联骨牌的母函数。Gessel 指出他们的结果意味着此类多联骨牌的个数为 $$\frac{m+n+mn}{m+n}{2m+2n\choose 2m}-\frac{2mn}{m+n}{m+n\choose m}^2.$$ 我们证明该结果可由与 Jacobi 多项式的母函数相关的一些二项式系数恒等式导出。