帕累托最优解平滑数量的下界

2009年，Roeglin和Teng证明了线性多准则优化问题的帕累托最优解的平滑数量在变量数$n$和半随机输入模型的最大密度$\phi$下是多项式有界的，且对于任意固定的目标函数个数均成立。然而，他们的界并不实用，因为指数随目标函数个数$d+1$呈指数增长。在最近的一项突破中，Moitra和O'Donnell将该界显著改进为$O(n^{2d} \phi^{d(d+1)/2})$。Moitra和O'Donnell在其论文中提出的一个“有趣问题”是，这个界还能改进多少。先前的下界并未排除存在一个次数不依赖于$d$的多项式上界的可能性。本文通过构造一类实例解决了这个问题，该实例的帕累托最优解的期望数量为$\Omega ((n \phi)^{(d-\log{d}) \cdot (1-\Theta{1/\phi})})$。对于双准则情形，我们给出了一个更高的下界$\Omega (n^2 \phi^{1 - \Theta{1/\phi}})$，这几乎与已知的上界$O(n^2 \phi)$相匹配。