有限域上多项式幂次系数的模式

我们考察了素数阶有限域上多项式幂次系数的行为。扩展 Allouche-Berthe (1997) 的工作，我们研究 $a(n)$，即多项式 $f$ 的任意幂次模素数 $p$ 约化后的系数中出现的长度为 $n$ 的字符串数量。线复杂度序列 $a(n)$ 在 Allouche-Shalit 意义下是 $p$-正则的。对于 $f=1+x$ 和一般的 $p$，我们推导了 $a(n)$ 的递推关系，随后找到了 $a(n)$ 生成函数的新公式。我们利用该生成函数计算了当 $n$ 趋于无穷大时 $a(n)/n^2$ 的渐近行为，这是一个关于 $x$ 的分段二次函数（可显式计算），其中 $n= [p^m/x]$ 且 $x$ 是介于 $1/p$ 和 $1$ 之间的实数。通过分析其他情形，我们对一般 $a(n)$ 的生成函数提出了猜想。我们考察了与 $f$ 和 $p$ 相关联的矩阵 $B$，该矩阵用于计算系数计数，适用于线性细胞自动机和分形理论。对于 $p=2$ 和小度数多项式，我们计算了 $B$ 的最大正特征值 $\lambda$，其与相应分形的分形维数 $d$ 的关系为 $d= \log_2(\lambda)$。我们证明了关于 $\lambda$ 的一些界及其度数上界的若干猜想。