$\{\pm 1\}$-矩阵的奇异性与阈值函数个数的渐近性

建立了关于阈值函数个数 $P(2, n)$ 与随机 $n\times n$ Bernoulli 矩阵奇异的概率 ${\mathbb P}_n$ 的两个结果。我们引入一个超模函数 $\eta^{\bigstar}_n : 2^{{\bf RP}^n}_{fin} \to \mathbb{Z}_{\geq 0},$ 定义于 ${\bf RP}^n$ 的有限子集上，它使我们能用 ${\mathbb P}_{n+1}$ 给出 $P(2, n)$ 的下界。这一点，连同 L.Schl\"afli 著名的下界，给出了渐近式 $$P(2, n) \thicksim 2 {2^n-1 \choose n},\quad n\to \infty.$$ 此外，证明了关于 ${\mathbb P}_n$ 的长期猜想成立： $$\mathbb{P}_n \thicksim (n-1)^22^{1-n}, \quad n\to \infty .$$