Jordan 弧上的 Szegő 定理

对于点 $z_0\in\mathbb C$ 和支撑在 Jordan 弧 $\Gamma$ 上的有限测度 $\mu$，第 $n$ 个 Christoffel 函数为 $$\lambda_n(\mu,z_0)=\inf\left\{\int_\Gamma |P|^2d\mu\mid P\text{ 是次数至多为 }n\text{ 且 } P(z_0)=1\text{ 的多项式}\right\}.$$ 将此概念推广至 $z_0=\infty$ 并将 $\lambda_n(\mu,\infty)$ 定义为首一 $n$ 次多项式的 $L^2(\mu)$ 范数平方的下确界是很自然的。经典的 Szegő 定理对支撑在单位圆上任意有限测度在 $|z_0|>1$ 和 $z_0=\infty$ 处的 $\lambda_n(\mu,z_0)$ 给出了渐近描述。Widom 针对支撑在 $C^{2+}$-Jordan 弧上的测度，在点 $z_0=\infty$ 且测度为属于 Szegő 类的纯绝对连续测度时，证明了一个版本的 Szegő 定理。我们在两个方向上推广了这一结果。我们证明了对于支撑在 $C^{1+}$-Jordan 弧 $\Gamma$ 上的任意有限测度 $\mu$ 以及所有点 $z_0\in\mathbb{C}\cup\{\infty\}\setminus\Gamma$，$\lambda_n(\mu,z_0)$ 的显式渐近性。此外，如果测度属于 Szegő 类，我们提供了极值多项式和正交多项式的显式渐近性。