Jordan 曲线上的强 Szegő 定理

我们考虑复平面上关于充分正则 Jordan 曲线 $\gamma$ 的某些行列式，它们推广了曲线为圆时得到的 Toeplitz 行列式。这也对应于研究曲线上逆温度 $\beta=2$ 的平面库仑气体。在对曲线作适当假设下，我们证明了当行列式规模增长时的强 Szegő 型渐近公式。所得公式涉及由 $\gamma$ 的外部映射函数的 Grunsky 系数构造的 Grunsky 算子。作为公式的推论，我们获得了曲线上库仑气体配分函数的渐近式。该公式涉及 Grunsky 算子绝对值平方的 Fredholm 行列式，其等于（差一乘法常数）曲线的 Loewner 能量。基于此，我们得到了具有有限 Loewner 能量的曲线（称为 Weil-Petersson 拟圆）的新刻画。