角点 Jordan 域上的库仑气体与 Grunsky 算子

设 $D$ 为单位容量的 Jordan 域。我们研究 $D$ 中沿 $\eta = \partial D$ 具有硬壁的平面库仑气体的配分函数，$$Z_{n}(D) =\frac 1{n!}\int_{D^n}\prod_{1\le k < \ell \le n}|z_k-z_\ell|^{2} \prod_{k=1}^n d^2z_k.$$ 我们关注 $\eta$ 的几何如何反映于 $Z_n(D)$ 的大 $n$ 行为中。我们证明 $\eta$ 是 Weil-Petersson 拟圆当且仅当 $$\lim_{n \to \infty} \log \frac{Z_n(D)}{Z_n(\mathbb{D})} = -\frac{1}{12}I^L(\eta),$$ 其中 $I^L$ 为 Loewner 能量，$\mathbb{D}$ 为单位圆盘，且 $\log Z_n(\mathbb{D}) = \log \pi^n/n!$。我们接下来考虑具有 $m$ 个内角开口角 $\pi \alpha_p, p=1,\ldots, m$ 的分段解析 $\eta$。我们的主要结果是渐近公式 $$\lim_{n\to\infty}\frac 1{\log n} \log \frac{Z_n(D)}{Z_n(\mathbb{D})} =-\frac 16\sum_{p=1}^m \left(\alpha_p+\frac 1{\alpha_p}-2 \right)$$ 其与物理预测一致。我们分析出发点是 $\log Z_{n}(D)$ 用涉及 $D$ 的截断 Grunsky 算子的 Fredholm 行列式表示的精确表达式。主要结果的证明基于对 Grunsky 系数的精细渐近分析。作为我们方法的进一步应用，我们还研究了逼近带角点域边界的等势线的 Loewner 能量与相关的 Fekete-Pommerenke 能量（一个出现在 Fekete 点分析中的量）。我们提出若干猜想与开放问题。