分段测地线 Jordan 曲线 I：焊接、显式计算与 Schwarzian 导数

我们考虑黎曼球上形如 $\gamma=\cup_{j=1}^n \gamma_j$ 的 Jordan 曲线，其中每条 $\gamma_j$ 在 $(\widehat{\mathbb C} \smallsetminus \gamma)\cup \gamma_j$ 中是双曲测地线。这些 Jordan 曲线的特征在于其共形焊接是分段 M"obius 的。我们证明，$\widehat{\mathbb C} \smallsetminus \gamma$ 中两个区域的均匀化映射的 Schwarzian 导数构成一个有理函数，在 $\gamma_j$ 的端点处至多具有二阶极点，且当曲线具有连续切向时极点为单极点。一个关键工具是所有 $C^1$ 测地线对的显式计算，即在单连通域 $D$ 中的 $C^1$ 弦 $\gamma=\gamma_1\cup\gamma_2$，使得对 $j=1$ 和 $j=2$ 均有 $\gamma_j$ 是 $D\smallsetminus \gamma_{3-j}$ 中的双曲测地线。